Basis dan Dimensi (1)

 Nama    : Annyda Dyah Kusuma

Kelas    : A

NIM     : 202231029

Jurusan : Teknik Informatika

Matkul  : Aljabar Linear 

BASIS DAN DIMENSI

Ruang -N Euclides

Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real (x1,x2,…,xn). Himpunan semua n-pasangan bilangan berurut dinamakan ruang-n Eucides dan dinyatakan dengan R^n.

Definisi. Misalkan u = [u1, u2, ... , un]; v = [v1, v2, ... , vn] vektor di Rn

• u = v jika hanya jika u1 = v1, u2 = v2, ... , un = vn
• u + v = [u1 +  v1 . u2 + v2, ... , un + vn]
• ku = [ku1 + ku2, ... , kun]
• u • v = u1 v1 + u2 v2 + ... + un vn 
• | u | = (u.u) ½ = 
  
  

Ruang Vektor

Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi :

• Jika u dan v vektor-vektor di V maka u + v juga berada di V.
• u+v = v u 
• u+(v+w) = (u+v) + w
• Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u = u+0
• Untuk setiap u di V terdapat -u di V sehingga u+(-u) = -u+u = 0
• Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V
• k(u+v) = ku+kv
• (k + l) u = ku + lu
• k(lu) = (kl)u
• 1u = u

Contoh :

Misalkan , dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar:

Periksa apakah  merupakan ruang vektor real.

Kombinasi Linear

Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u1, u2, ... , un. Jika vektor tersebut dinyatakan dalam bentuk : 

                              x = k1u1 + k2u2 + .. + knun

dimana k1, k2, ... , kn adalah skalar.