Inner Product, Basis Ortonormal, Proses Gram-Schmidt

Nama    : Annyda Dyah Kusuma

Kelas    : A

NIM     : 202231029

Jurusan : Teknik Informatika

Matkul  : Aljabar Linear 

Basis dan Dimensi

Inner Product, Basis Ortonormal, Proses Gram-Schmidt

BASIS

Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika  S bebas linier dan S membangun V

DIMENSI

Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor  V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1, u2,…,un} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.

Contoh :

Misalkan S = {u₁, u₂,u₃} dimana u₁=[1,2,2]^T, u₂=[2,1,2]^T dan u₃=[1,3,3]^T. Apakah S basis untuk R³.

Jawab :

Misalkan x=[x₁,x₂,x₃] vektor di R³_, bentuk kombinasi linier :

 k₁u₁ + k₂u₂ + k₃u₃ = x

k₁ [1,2,1]^T + k₂[2,1,2]^T + k₃ [1,3,4]^T = [x₁,x₂,x₃]^T

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier :

Karena solusi SPL adalah tunggal, jadi S adalah basis untuk R³.

Ruang Hasil Kali Dalam (inner product)

Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil [u,v] dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini :

•  [u,v] = [v,u]                                    (aksioma simetri)
•  [u+v,w] = [u,w] + [v,w]                 (aksioma penambahan)
•  [ku,v] = k[u,v]                                (aksioma kehomogenan)
•  [u,u] ≥ 0 dan [u,u] = 0 Û u=0       (aksioma kepositifan) 

Contoh :

Jika u = [u₁,u₂,…,u_n], dan v = [v₁,v₂,…,v_n] adalah vektor-vektor pada Rⁿ, maka :

                  [u,v] = u•v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + u_nv_n

adalah hasil kali dalam pada ruang Euclides Rⁿ. Dan u dan v dikatakan ortogonal jika [u,v] = 0. Jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada V, maka u dikatakan ortogonal terhadap V.

Basis Ortonormal

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya panjangnya 1 disebut ortonormal.

Contoh :

S={u1,u2,u3} dengan u1=[1,2,1], u2=[1,-1,1], dan u3=[1,0,-1]. Himpunan S adalah ortogonal pada R³, karena [u1,u2]=[u1,u3]=[u2,u3]=0

Catatan :

• Jika S = {u₁, u₂,…,u_n} adalah adalah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam V, dan jika x sembarang vektor di V, maka :

                   x = [x,u₁]u₁  + [x,u₂]u₂ +  … + [x,u_n]u_n  

• Misalkan V ruang hasil kali dalam dan {u₁,u₂,…,u_n} himpunan ortonormal Jika W ruang yang dibangun oleh u₁,u₂,…,u_n maka setiap vektor x dalam V dapat dinyatakan dengan : x = v + w dimana :

                   v = [v,u₁]u₁  + [v,u₂]u₂ +  … + [v,u_n]u_n   

Proses Gram-Schmidt

Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol, mempunyai sebuah basis ortonormal.

Misalkan S={u₁,u₂,…,u_n} basis untuk ruang hasil kali dalam V, algoritma  untuk menentukan ortonormal B={v₁,v₂,…,v_n} untuk V adalah :

Langkah 1. Ambil, v₁ = u₁/|u₁|

Langkah 2. Hitung, v₂ , dengan rumus : 

Langkah 3. Hitung, v₃ , dengan rumus :

Langkah 4. Hitung, v_k , dengan rumus :